Le système décimal, dit " à base10 " pour rappeler que les nombres s'y écrivent avec dix chiffres :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,
n'est pas le plus pratique pour réaliser les opérations que l'on rencontre en informatique.

Nous y sommes tellement habitués que certains attribuent à tort au nombre " dix " constituant sa base, l'origine de la simplicité avec laquelle nous pouvons effectuer la plupart des applications. En réalité, nous pourrions montrer que si on s'y était habitué, on aurait pu effectuer les mêmes opérations avec autant de facilité dauns une autre base que 10.

La base " dix " provient peut-être d'une méthode primitive de comptage sur les doigts.
Si elles n'étaient pas socialement aussi mal organisées, les araignées auraient certainement imposé un système à base " huit " dit " octal ", d'ailleurs utilisé dans certaines machines informatiques et utilisant huit chiffres : 0 1 2 3 4 5 6 7.

Les nombres binaires sont très pratiques quand ils représentent des états de capteurs ou d'actionneurs "Tout Ou Rien" industriels, mais catastrophiques en calcul : essayez de trouver l'équivalent décimal du nombre : 1101010010110111 par la formule des puissances de 2 précédente. C'est laborieux !

Un moyen terme entre les avantages et les inconvénients des notations décimale et binaire a été trouvé par l'emploi de l'écriture à base 16 dite " hexadécimale " utilisant les seize chiffres suivants :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.

Un exemple :

A3F2 _hexadécimal = 1016³ + 316² + 1516¹ + 216⁰
Notez que l'on a traduit 'A' par 10 et 'F' par 15

Convertissons un nombre héxadécimal en binaire, par exemple : AC7F.

AC7F _hexadécimal = 1010 1100 0111 1111 _binaire = 1010110001111111 _binaire

Convertir l'hexadécimal BAEF en son équivalent binaire.

Quel est le rapport des deux nombres suivants écrits en binaire : r = 10110110100000 / 101101101 ?

L'opposé d'un nombre x est, par définition, le nombre y tel que x + y = 0
On le note -x ; soit : y = -x ; ou encore : x + (-x) = 0

Une difficulté apparaît dans toutes les opérations faites avec des nombres binaires sur les calculateurs numériques réels : les nombres binaires y ont un nombre de chiffres fixe (soit 8 soit16 soit 32 soit 64 bits généralement suivant les processeurs).

C'est cette même limitation qui apparaît sur les compteurs kilométriques de véhicules. Limités par exemple à six chiffres, lorsque le comteur arrive à 999 999, il retombe à 000 000.

Tout ce qui va être dit sur les opérations mathématiques suppose que les opérations se font sans dépassement de la valeur maximale que peut prendre les format binaire choisi (nombre maximum de bits).

Si les nombres manipulés dépassent cette valeur il faudra avoir recours à un nombre supérieur de bits pour représenter les nombres.

Pour simplifier, nous allons partir de nombres de 4 bits.Les nombres extrêmes dans ce format sont 0000 et 1111, soit en décimal : 0 et 15. Ce sont des entiers positifs..
Il exsite deux manières d'écrire dans ce format à la fois des nombres positifs et leurs opposés :

• Le le bit le plus signifiant (bit de gauche) représente le signe : 0 pour "plus" et 1 pour "moins".
• La valeur absolue est données par le reste des bits.

Exemple :

Cette méthode semble très simple.
Pour n bits les valeurs extrêmes sont : 2^{( n - 1 )} - 1
On peut écrire autant de positifs que de négatifs.

Mais le revers de la médaille est plus sombre :